# Examen blanc ENSAM — Mathématiques et physique

20 questions originales (11 de mathématiques, 9 de physique) sur le programme de 2e année bac, avec une place importante pour la mécanique et l'électricité. Comptez 40 minutes, soit 2 minutes par question, pour vous habituer à un rythme de concours ; les matières, la durée et le barème officiels sont fixés par l'avis et la convocation. Sans calculatrice ; une seule bonne réponse par question.

- 20 questions · 40 minutes · Objectif : 60 %
- Questions originales rédigées par Concours Radar pour l’entraînement — ce ne sont pas des sujets officiels.
- https://concoursradar.com/preparer/ensam/examen-blanc

### 1. [Mathématiques] Que vaut la limite de sin(3x)/x quand x → 0 ?

- A) 0
- B) 3
- C) 1/3
- D) 1

### 2. [Mathématiques] Quelle est la dérivée de f(x) = ln(x² + 1) sur ℝ ?

- A) 2x/(x² + 1)
- B) 1/(x² + 1)
- C) 2x·ln(x² + 1)
- D) 1/(2x)

### 3. [Mathématiques] On pose u₀ = 2 et uₙ₊₁ = ½uₙ + 3. La suite (uₙ) :

- A) converge vers 3
- B) converge vers 2
- C) diverge vers +∞
- D) converge vers 6

### 4. [Mathématiques] Que vaut l'intégrale de 0 à ln 2 de e^(2x) dx ?

- A) 3
- B) 1/2
- C) 3/2
- D) ln 2

### 5. [Mathématiques] Une forme exponentielle de z = 1 − i√3 est :

- A) 2e^(−iπ/3)
- B) 2e^(iπ/3)
- C) 4e^(−iπ/3)
- D) 2e^(−iπ/6)

### 6. [Mathématiques] Les solutions dans ℝ de e^(2x) − 3e^x + 2 = 0 sont :

- A) x = 1 et x = 2
- B) x = 0 et x = ln 2
- C) x = ln 2 seulement
- D) x = 0 seulement

### 7. [Mathématiques] On lance trois fois un dé équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un 6 ?

- A) 1/6
- B) 1/2
- C) 25/72
- D) 25/216

### 8. [Mathématiques] Soit f(x) = x + ln x sur ]0 ; +∞[. L'équation f(x) = 0 admet une unique solution α. On donne ln 2 ≈ 0,69 et ln 0,6 ≈ −0,51. Quel encadrement est correct ?

- A) 0 < α < 0,5
- B) 0,6 < α < 1
- C) 1 < α < 2
- D) 0,5 < α < 0,6

### 9. [Mathématiques] Que vaut l'intégrale de 1 à e de x·ln x dx ?

- A) (e² + 1)/4
- B) (e² − 1)/4
- C) e²/2
- D) 1/4

### 10. [Mathématiques] La solution de l'équation différentielle y′ = 2y + 4 vérifiant y(0) = 0 est :

- A) y = e^(2x) − 1
- B) y = −2e^(2x) + 2
- C) y = 4e^(2x) − 4
- D) y = 2e^(2x) − 2

### 11. [Mathématiques] Dans un repère orthonormé de l'espace, la sphère (S) : x² + y² + z² − 2x + 4y − 4 = 0 coupe le plan d'équation z = 2 selon un cercle de rayon :

- A) 3
- B) √5
- C) √13
- D) 1

### 12. [Physique] Un sonar émet une impulsion ultrasonore dans l'eau (v = 1500 m/s) ; l'écho revient au bout de 2,0 ms. À quelle distance se trouve l'obstacle ?

- A) 3,0 m
- B) 0,75 m
- C) 1,5 m
- D) 750 m

### 13. [Physique] Le carbone 14 a une demi-vie de 5730 ans. Un échantillon ancien a une activité égale à 25 % de celle d'un échantillon vivant identique. Son âge est d'environ :

- A) 11 460 ans
- B) 2 865 ans
- C) 5 730 ans
- D) 22 920 ans

### 14. [Physique] Une voiture de 1000 kg passe de 0 à 20 m/s en 10 s, en mouvement rectiligne uniformément accéléré. L'intensité de la résultante des forces extérieures qui s'exercent sur elle vaut :

- A) 200 N
- B) 1000 N
- C) 2000 N
- D) 20 000 N

### 15. [Physique] Dans un dipôle RC, R = 1 kΩ et τ = 2 ms. La capacité du condensateur vaut :

- A) 2 mF
- B) 0,5 μF
- C) 2 nF
- D) 2 μF

### 16. [Physique] Un condensateur C = 1 μF chargé sous 10 V est relié à une bobine idéale L = 10 mH (circuit LC sans pertes). L'intensité maximale du courant vaut :

- A) 1 A
- B) 0,1 A
- C) 10 mA
- D) 1 mA

### 17. [Physique] Un pendule élastique horizontal (solide de masse m = 0,5 kg accroché à un ressort) a pour équation horaire x(t) = 0,04·cos(10t), avec x en m et t en s. La raideur k du ressort vaut :

- A) 5 N/m
- B) 20 N/m
- C) 0,4 N/m
- D) 50 N/m

### 18. [Physique] Une balle est lancée depuis le sol à v₀ = 10 m/s sous un angle de 45° (g = 10 m/s², sol horizontal, frottements négligés). Sa portée horizontale vaut :

- A) 5 m
- B) 14,1 m
- C) 10 m
- D) 20 m

### 19. [Physique] Un solide de masse 0,5 kg descend un plan incliné de 30° en subissant une force de frottement constante f = 1 N, parallèle au plan et opposée au mouvement (g = 10 m/s²). Son accélération vaut :

- A) 5 m/s²
- B) 3 m/s²
- C) 7 m/s²
- D) 2 m/s²

### 20. [Physique] Une bobine (L = 0,5 H) est en série avec une résistance totale R = 50 Ω sous tension continue. Après la fermeture de l'interrupteur, au bout de combien de temps le courant atteint-il 90 % de sa valeur finale (ln 10 ≈ 2,3) ?

- A) 23 ms
- B) 10 ms
- C) 9 ms
- D) 50 ms

## Corrigé

1. **B) 3** — sin(3x)/x = 3 × sin(3x)/(3x), et sin(u)/u → 1 quand u → 0 : la limite vaut 3.
2. **A) 2x/(x² + 1)** — (ln u)′ = u′/u avec u = x² + 1 et u′ = 2x. Le piège 1/(x² + 1) oublie de dériver u.
3. **D) converge vers 6** — La limite ℓ vérifie ℓ = ½ℓ + 3, d'où ℓ = 6 ; vₙ = uₙ − 6 est géométrique de raison ½, donc vₙ → 0 et uₙ → 6.
4. **C) 3/2** — Une primitive est ½e^(2x) : ½(e^(2 ln 2) − 1) = ½(4 − 1) = 3/2. Le piège 3 oublie le facteur ½.
5. **A) 2e^(−iπ/3)** — |z| = √(1 + 3) = 2 ; cos θ = 1/2 et sin θ = −√3/2, donc θ = −π/3. Le module n'est pas 4 : on prend la racine carrée de 1 + 3.
6. **B) x = 0 et x = ln 2** — Avec t = e^x > 0 : t² − 3t + 2 = 0, donc t = 1 ou t = 2, d'où x = 0 ou x = ln 2. Le piège « 1 et 2 » donne les valeurs de t, pas celles de x.
7. **C) 25/72** — Loi binomiale B(3 ; 1/6) : P = 3 × (1/6) × (5/6)² = 75/216 = 25/72. 25/216 oublie le facteur 3 (position du 6 parmi les trois lancers).
8. **D) 0,5 < α < 0,6** — f′(x) = 1 + 1/x > 0, donc f est strictement croissante. f(0,5) = 0,5 − ln 2 ≈ −0,19 < 0 et f(0,6) ≈ 0,6 − 0,51 = 0,09 > 0 : par le théorème des valeurs intermédiaires, 0,5 < α < 0,6.
9. **A) (e² + 1)/4** — Par parties (u = ln x, v′ = x) : [x²/2 · ln x] de 1 à e moins l'intégrale de x/2, soit e²/2 − (e² − 1)/4 = (e² + 1)/4.
10. **D) y = 2e^(2x) − 2** — Les solutions sont y = C·e^(2x) − 2 (−2 est la solution constante). y(0) = C − 2 = 0 donne C = 2.
11. **B) √5** — (S) s'écrit (x − 1)² + (y + 2)² + z² = 9 : centre Ω(1 ; −2 ; 0), rayon R = 3. La distance de Ω au plan est d = 2, donc r = √(R² − d²) = √5.
12. **C) 1,5 m** — L'onde fait l'aller-retour : 2d = v·Δt, d'où d = 1500 × 2·10⁻³ / 2 = 1,5 m. 3,0 m oublie l'aller-retour.
13. **A) 11 460 ans** — 25 % = (1/2)² : deux demi-vies se sont écoulées, soit t = 2 × 5730 = 11 460 ans.
14. **C) 2000 N** — a = Δv/Δt = 2 m/s² ; d'après la 2e loi de Newton, ΣF = m·a = 1000 × 2 = 2000 N.
15. **D) 2 μF** — τ = R·C, donc C = τ/R = 2·10⁻³ / 10³ = 2·10⁻⁶ F = 2 μF.
16. **B) 0,1 A** — Conservation de l'énergie : ½·C·U² = ½·L·Imax², donc Imax = U·√(C/L) = 10 × √(10⁻⁴) = 0,1 A.
17. **D) 50 N/m** — ω₀ = √(k/m) = 10 rad/s, donc k = m·ω₀² = 0,5 × 100 = 50 N/m. 5 N/m oublie le carré ; 0,4 est la vitesse maximale A·ω₀ en m/s.
18. **C) 10 m** — Portée D = v₀²·sin(2α)/g = 100 × sin 90° / 10 = 10 m ; elle est maximale pour α = 45°.
19. **B) 3 m/s²** — En projetant la 2e loi de Newton sur la ligne de plus grande pente : m·a = m·g·sin α − f, d'où a = 10 × 0,5 − 1/0,5 = 5 − 2 = 3 m/s². 7 m/s² vient d'une erreur de signe sur f.
20. **A) 23 ms** — τ = L/R = 10 ms. i(t) = I(1 − e^(−t/τ)) = 0,9·I donne e^(−t/τ) = 0,1, soit t = τ·ln 10 ≈ 2,3τ ≈ 23 ms. 10 ms (τ) ne correspond qu'à 63 %.